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三角函数的图象及其变换

【例$1$】

为了得到函数$y= \sin (x+1)$的图象,只需把函数$y= \sin x$的图象上所有的点____.

A. 向左平行移动$1$个单位长度
B. 向右平行移动$1$个单位长度
C. 向左平行移动 $\pi$ 个单位长度
D. 向右平行移动 $\pi$ 个单位长度

【思维导图】

$f(x)$ $\rightarrow$ $f(x+a)$

解:∵由$y= \sin x$到$y= \sin (x+1)$,只是横坐标由$x$变为$x+1$,
∴要得到函数$y= \sin (x+1)$的图象,只需把函数$y= \sin x$的图象上所有的点向左平行移动$1$个单位长度.
故选$A$.

【总结】

$y=f(x\pm a)$ $(a > 0)$的图象,可由$y=f(x)$的图象沿$x$轴方向向左或向右平移$a$个单位得到;
$y=f(x)\pm b$ $(b >0 )$的图象,可由$y=f(x)$的图象沿$y$轴方向向上或向下平移$b$个单位得到.

【例$2$】

为了得到函数$y= \sin (2x+1)$的图象,只需把$y= \sin 2x$的图象上所有的点____.

A. 向左平行移动$\cfrac 1 2$ 个单位长度
B. 向右平行移动 $\cfrac1 2$ 个单位长度
C. 向左平行移动$1$个单位长度
D. 向右平行一定$1$个单位长度

【思维导图】

$f(ax)$ $\rightarrow$ $f(ax+m)=f\left[a\left(x+\cfrac ma\right)\right]$

解:∵$y= \sin (2x+1)$ $= \sin\left[ 2\left(x+\cfrac12\right)\right]$,
∴把$y= \sin 2x$的图象上所有的点向左平行移动$\cfrac12$个单位长度,即可得到函数$y= \sin (2x+1)$的图象.
故选$A$.

【总结】

由$f(ax)(a\neq0)$得到$f(ax+m)$的图象即$f(ax)$ $\rightarrow$ $f\left[a\left(x+\cfrac ma\right)\right]$只需把$f(x)$的图象向左平移$\cfrac m a$个单位长度即可.
注意:要深刻体会"左加右减"的含义,如本题$f(ax)$ $\rightarrow$ $f\left[a\left(x+\cfrac ma\right)\right]$中$\cfrac m a$才是平时我们所说的"左加右减",即$x$的系数一定为$1.$

【例$3$】

要得到函数$y=3 \cos x$的图象,只需将函数$y=3 \sin\left(2x-\cfrac \pi 6\right)$的图象上所有点的____.

A. 横坐标缩短到原来的 $\cfrac1 2 ($纵坐标不变$)$,所得图象再向左平移 $\cfrac{\pi}{ 12}$ 个单位长度
B. 横坐标缩短到原来的 $\cfrac1 2 ($纵坐标不变$)$,所得图象再向右平移 $\cfrac\pi 6$ 个单位长度
C. 横坐标伸长到原来的$2$倍$($纵坐标不变$)$,所得图象再向左平移 $\cfrac{2 \pi}{ 3}$ 个单位长度
D. 横坐标伸长到原来的$2$倍$($纵坐标不变$)$,所得图象再向右平移 $\cfrac\pi 6$ 个单位长度

【思维导图】

$y=3\sin\left(2x-\cfrac\pi 6\right)$ $\rightarrow$ $3\sin\left(x-\cfrac\pi 6\right)$ $\rightarrow$ $3\sin\left(x+\cfrac\pi2\right)$ $\rightarrow$ $3\cos x$

解:∵$y=3 \cos x=3 \sin\left(\cfrac \pi 2 +x\right),$
令$y=f(x)=3 \sin \left( \cfrac \pi 2 +x\right),$
要得到$y=f(x)=3 \sin \left(\cfrac \pi 2 +x\right)$的图象,
需将函数$y=3 \sin\left(2x-\cfrac \pi 6\right)$的图象上所有点的横坐标伸长到原来的$2$倍$($纵坐标不变$)$,
得到$g(x)=3 \sin \left(x- \cfrac \pi 6\right)$;
∵$g\left(x+\cfrac {2 \pi}{ 3}\right)$ $=3 \sin\left[\left(x+\cfrac {2 \pi}{ 3 }\right)- \cfrac \pi 6\right]$ $=3 \sin \left(\cfrac \pi 2 +x\right)$ $=f(x)$,
即:将$g(x)=3 \sin\left(x-\cfrac \pi 6\right)$的图象再向左平移$\cfrac {2 \pi}{ 3}$ 个单位长度,可得到$y=f(x)=3 \sin\left( \cfrac \pi 2 +x\right)$的图象.
故选$C$.

【总结】

当由$y=A_2\sin(\omega_2x+m_2)$得到$y=A_1\cos(\omega_1x+m_1)$的图象时,由于前后函数名称(正弦、余弦)不一样,这时需要利用公式$\cos x=\sin\left(\cfrac \pi 2-x\right)$或$\cos x=\sin\left(\cfrac \pi 2+x\right)$变成同名函数,即:$y=A_1\cos(\omega_1x+m_1)$ $=A_1\sin\left(\cfrac \pi 2+\omega_1x+m_1\right)$得到$y=A_2\sin(\omega_2x+m_2)$的图象,最后利用上面的【例$1$】和【例$2$】知识求解即可.

【例$4$】

将函数$y= \sin\left(2x-\cfrac\pi 3\right)$的图象先向左平移 $\cfrac\pi 6$ ,然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的$2$倍$($纵坐标不变$)$,则所得到的图象对应的函数解析式为____.

A. $y=- \cos x$
B. $y= \sin 4x$
C. $y= \sin x$
D. $y= \sin\left(x-\cfrac\pi 6\right)$

【思维导图】

$y=\sin\left(2x-\cfrac\pi 3\right)$ $ \xrightarrow[]{\text{左}\cfrac\pi 6}$ $\sin\left[2\left(x+\cfrac\pi 6-\cfrac\pi 3\right)\right]$ $\xrightarrow[]{\text{横坐标为原来}2\text{倍}}$ $\sin x$

解:将函数$y= \sin\left(2x-\cfrac\pi 3\right)$的图象先向左平移 $\cfrac\pi 6$ ,得到$y= \sin \left[2\left(x+ \cfrac\pi 6\right)-\cfrac \pi 3\right]= \sin 2x$的图象.
然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的$2$倍$($纵坐标不变$)$,得到$y= \sin \left(2 \times \cfrac1 2 x\right)= \sin x$的图象.
故选$C$.

【总结】

$(1)$三角函数的图像的基本画法是”五点法“作图,即令$\omega x+\varphi$分别取$0,$ $\cfrac{\pi}{2},$ $\pi,$ $\cfrac{3\pi}{2},$ $2\pi$得到相应的五个关键点,然后描点,连接画出$y=A\sin(\omega x+\varphi)$的图像;

$(2)$由函数$y=\sin x$的图像通过图像变换可得到函数$y=A\sin(\omega x+\varphi)$ $(A>1,$ $\omega>1,$ $\varphi>0)$的图像,其一般方法是:将函数$y=\sin x$的图像上的各点向左平移$\varphi$个单位($\varphi < 0$,向右平移$-\varphi$个单位)得到函数$y=\sin ( x+\varphi)$的图像,再将函数$y=\sin ( x+\varphi)$的图像各点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的$\cfrac{1}{\omega}$倍,得到$y=\sin (\omega x+\varphi)$(若$0< \omega <1$,横坐标扩大到原来的$\cfrac{1}{\omega}$倍)的图像,再将函数$y=\sin(\omega x+\varphi)$的图像各点的横坐标不变,纵坐标扩大到原来的$A$倍得到函数$y=A\sin(\omega x+\varphi)$(若$0 < A < 1$,纵坐标缩短为原来的$A$倍)的图像.

【例$5$】

若函数$y= \sin\left( \omega x+ \cfrac\pi 3\right)$的图象向右平移 $\cfrac\pi 6$ 个单位后与函数$y= \cos \omega x$的图象重合,则 $\omega$ 的值可能是____.

A. $-1$
B. $-2$
C. $1$
D. $2$

【思维导图】

$\sin\left(\omega x+\cfrac \pi 3\right)$向右平移$\cfrac\pi 6$ $\rightarrow$ $\sin\left[\left(x-\cfrac\pi 6\right)+\cfrac\pi 3\right]$ $\rightarrow$ 与$\cos x $重合 $\rightarrow$图象相差$\left(k+\cfrac14\right)$个周期

解:函数$y= \sin\left( \omega x+ \cfrac\pi 3\right)$的图象向右平移 $\cfrac\pi 6$ 个单位后,可得函数$y= \sin\left[ \omega \left(x-\cfrac \pi 6\right)+\cfrac \pi 3\right]$的图象,
再根据所得函数的图象与函数$y= \cos \omega x$的图象重合,
∴ $\cfrac\pi 3 - \omega \cdot \cfrac\pi 6 =2k \pi + \cfrac\pi 2$ ,$k \in \bf Z$,
∴当$k=0$时, $\omega =-1.$
故选$A$.

【总结】

关于两个函数经过平移以后重合的试题,考试时一般分为两类:
第一类:两个函数同名,如函数$y=\sin(\omega x+b_1)$与$y=\sin(\omega x+b_2)$图象重合,则一定有$(\omega x+b_1)-(\omega x+b_2)=2k\pi$成立;
第二类:两个函数异名,如函数$y=\sin(\omega x+b_1)$与$y=\cos(\omega x+b_2)$图象重合,则一定有$(\omega x+b_1)-(\omega x+b_2)$ $=\left(k+\cfrac14\right)\cdot 2\pi$成立.